色度學與彩色電視之顏色的計量系統

如果用相互垂直的三個坐標軸分別表示三色系數R、G、B，則任意一個彩色F就能用三維空中的一個彩色矢量表征，如圖2.2－2所示。

四、分布色系數與混色曲線

利用配色試驗所得數據，常因人而異。因此，CIE推薦了一種國際通用的標準分布色系數數據，它是由很多正常視覺觀測者的觀測結果取平均所組成。所謂分布色系數是指輻射功率為1瓦（注意，不是1光瓦）波長為l 的單色光所需要的三基色的單位數，分別

用，和表示。若用表示輻射功率恒定為1瓦，但波長l 可改變的單色光，則通過大量實驗，CIE分別于1931年和1964年公布了兩組分布色系數的標準數據。1931年的數據適用于1° ～4° 視場，1964年公布的數據適用于大于4° 的視場，表2－1列出了1931年CI公布的部分數據。根據表2－1繪制出分布色系數曲線（稱為混色曲線），如圖2.2－3所示。

從圖2.2－3可見，每條曲線都有一段負值。其含義是：是可見光譜范圍內，有些純度很高的物理學三基色直接相加得到，必須將帶負號的一個或二個基色搬到待配的半日單色光一邊，才能使比色計兩邊的彩色完全相同。

若已知某彩色的輻射功率譜,求其三色系數時，可不必再進行配色實驗，而直接根據CIE提供的分布色系數數據計算求出：在上式中，若彩色光是等能白光，其功率常數，又所以
上式說明三條混色曲線下的面積是相等的。

五、相對色系數與RGB色度圖

在許多情況下，只需要討論景物與圖象的色度，而不涉及其亮度。如前所述，色度只由三色系數R、G、B的比例決定，與它們的數值大小無關。為此，令三色系數之和為m
并令： 顯然上述式中，稱為色膜，反映了色光的亮度；r、g、b稱為相對色系數或色度坐標，它們的每一組數值都確定了一種顏色的色度。由于相對色系數r、g、b之和等于1。所以知道其中任意二個（例如r和g）就可以算出第三個（例如b=1－r－g）。因此，可以用r－g平面坐標作出包羅所有實際顏色的色度圖，即RGB系統色度圖。

圖2.2－4是RGB色度圖，首先確定三基色和標準白光E白的色度坐標，它們的坐標值如表2－2所示。

根據譜色光的分布色系數、、,可按下式
（2.2-1）

求出各譜色光的色度坐標值，如表2－1所示。在色度圖中，譜色光的軌跡是一條舌形曲線，稱為譜色軌跡。

[R]、[B]之連線所示的色光是由紅基色和藍基色合成的，中點為品紅色，而譜色光380nm和780nm兩點坐標之連線所示色光是紫色與紅色合成的，中點為紫紅色，不過這兩條直線幾乎是一條直線，顏色也較相近。[R]、[B]連線上的顏色是非常譜色，它和舌形曲線組成一個封閉的馬蹄形區域。自然界的一功顏色都在該區域內，稱為實際顏色；在該區域外沒有實際顏色，稱為虛色。

彩色光的色度坐標越靠近譜色軌跡，其飽和度愈高；而愈靠近E白，其飽和度愈低。

六、麥克斯韋計色三角形

麥克斯韋（J.C.Maxwall）首先用等邊三角形簡單而直觀地表示顏色的色度，這個三角形稱為Maxwell顏色三角形，如圖2.2－5所示。它的三個頂點分別表示[R]、[G]、[B]，三角形內任一點都代表自然界的一種顏色，如果設每個頂點到對邊的距離為1，則三角形內任一點P到三邊距離之和等于1（這由幾何知識不難證明）。如果令P點到紅、綠、藍三頂點對應的三邊的距離分別為r、g、b，則r、g、b就是P點所代表彩色的色度坐標，表2－3列出了紅、橙、黃、綠、青、藍、品紅、E白的色度坐標值，由這些色度坐標值就可以確定它們在麥克斯韋顏色三角形中的位置，如圖2.2－5所示。

七、彩色的合成

通過大量配色試驗證明：合成彩色的三系數分別等于各混合彩色對應色系數之和。根據上述規律，可以不必進行配色試驗，而通過“計算法”或“圖解法”求出合成彩色。

1、計算法

已知：兩個彩色光和的配色方程分別為

求：，相混后的合成光依上述彩色光的相加規律有

除計算法外，還可以在r－g直角坐標式或麥克斯韋三角形中，用圖解法求合成光的色度坐標；這種方法完全類似于力學中求兩質點重心的位置。詳述如下：

將（2.2－式2b）改寫成上式中

上式中所示列三個公式與力學求重心的公式相類似，因此，可采用求重心的方法，求解合成光的色度坐標。在圖2.2－6所示的r－g直角坐標系或麥克斯韋顏色三角形，先找到和的坐標點，在和連線上反向地垂直引出兩段長度為和的線段和，其中r可為任意常數，直線和相交于C點，C點是合成光的坐標。由此可見，和兩色光按不同比例混合時，合成光總是在直線上。

如果三個色光、、相混合，可以先將和相混合得到然后再將和相混合，得到合成光。不論三個色光按什么比例得混合，混合色光必然處在D 之內。換句話說，利用三個基色只能混合得到以基色為頂點的三角形以內的各種顏色。彩色電視中，應使彩色顯像管三基色組成的三角形面積盡可能的大，這樣才能使重現的彩色更加豐富多彩。

2.2.2 XYZ計色制與CIE色度圖

RGB計色制的基礎是配色試驗，它的物理意義明確，但使用不方便。因為，必須知道彩色光的三個色系數R、G、B，才能處出其亮度； 分布色系數中存在負值，用求和法近似計算色系數時，容易出錯；自然界某些實色的相對色系數出現負值，它們的坐標不全在第一象限，作圖不方便，為了克服上述缺點，1931年CIE在RGB計色制的基礎上采用三個虛設的顏色作為計算三基色單位，分別用[X]、[Y]、[Z]表示，從而建立了XYZ計色制，并繪制了新的色度圖－－CIE色度圖。

XYZ計色制不能象RGB計色制那樣，一切計算結果都可以通過配色試驗來驗證，它是在RGB制的基礎上通過數學運算轉換產生的一種計色制。在學習XYZ制時，要注意與RGB制進行對比，抓住它們的異同點以及相互轉換關系。

一、基色單位的選定

設XYZ的三基色單位是[X]、[Y]、[Z]，則任一彩色的配色方程為

F＝X[X]＋Y[Y]＋Z[Z] （2.2-15）

式中，X、Y、Z稱為三色系數，三基色單位的選定基于如下考慮：

1、要求自然界所有實色的三個色系數X、Y、Z為非負數，以利于色度計算與作圖。

2、為了簡化彩色的亮度計算，規定彩色的亮度直接由色系數Y決定，且1[Y]的光通量是1光瓦，而與另外兩個色系數X、Z無關。彩色的色度仍由X、Y、Z的比值決定。

3、當X＝Y＝Z，仍代表等能白光E白。

根據以上三點要求，就可以找出三基色單位[X]、[Y]、[Z]在r－g色度坐標中的位置，從而確定了[X]、[Y]、[Z]與[R]、[G]、[B]之間的相互轉換關系。

按第一個要求，所有實色的X、Y、Z應為非負數，故以[X]、[Y]、[Z]為頂點的三角形，必須包圍圖2.2-7中的馬蹄形區域，否則X、Y、Z將出現負數。在RGB色度圖中，由于540nm到700nm譜色軌跡近似為一直線，將其延長作為顏色三角形的[X]、[Y]邊。已知700nm和640nm的色度坐標分別為g ＝1，g＝0和g ＝0.9797，g＝0.0205可寫出兩點式直線方程是

整理得直線[X][Y]的方程為

g ＋0.99g－1＝0 （2.2-16）

由于510nm至380nm之間的譜色軌跡為一曲線，CIE規定取一條與光譜軌跡上503nm點相靠近的直線作為[Y][Z]邊，這條直線的方程是

1.45g ＋0.55g＋1＝0 （2.2-17）

根據第二個要求，單位基色[X]和[Z]的光通量應為零，X[X]和Z[Z]的合成光的光通量也應為零，所以[X]、[Z]的連線是一條光通量等于零的直線，該直線的方程是

g ＋4.5907g＋0.0601b＝0

因為g ＋g＋b＝1，所以上式可變成：

0.9399g ＋4.5306g＋0.0601＝0 （2.2-18）

上式就是零光通量直線[X][Z]的方程。

對以上三個直線方程式（2.2-16）、式（2.2-17）和式（2.2-18）兩兩聯立求解，可得到它們的交點[X]、[Y]、[Z]在g －g坐標系中的色度坐標值：

根據第二條規定，1[Y]的光通量等于1光瓦，所以

（2.2-21）

將式（2.2-19）中[Y]的坐標值代入上式得 ＝0.0912

根據第三條規定，當X＝Y＝Z時，仍代表等能白光E白，所以1[X]＋1[Y]＋1[Z]也應代表1光瓦的E白。由式（2.2-20）可得：

1[X]＋1[Y]＋1[Z]＝

由式（2.2-4）可知，只有[R]、[G]、[B]前面三個色系數相等時，才能代表E白，所以可得下列兩個獨立的方程

將和式（2.2-19代入式，得）

把m值和式（2.2-19）代入式（2.2-20）得到由物理三基色單位[R]、[G]、[B]求計算三基色單位[X]、[Y]、[Z]的轉換關系式：

二、配色方程與色系數

XYZ制的配色方程已由式（2.2-15）給出，任一彩色可用

F＝X[X]＋Y[Y]＋Z[Z]

表示，X、Y、Z稱為三色系數。對同一彩色，也可以用RGB制的配色方程

F＝R[R]＋G[G]＋B[B]

R[R]＋G[G]＋B[B]＝X[X]＋Y[Y]＋Z[Z]

將式（2.2-25）代入上式右邊得

R[R]＋G[G]＋B[B]＝（0.4185X－0.1587Y－0.0828Z）[R]

＋（－0.0912X＋0.2524Y＋0.0157Z）[G]

＋（0.0009X－0.0025Y＋0.1786Z）[B]

從式（2.2-26b）和式（2.2-29b）、式（2.2-27b）和式（2.2-30b）可以看出：矩陣[A]和、和都互為轉置矩陣；而[A]與，和都互為逆矩陣。所以在上述四個矩陣中，知其一，可求其三。

三、分布色系數與混色曲線

與RGB計色制相似，XYZ計色制的分布色系數也是指配出輻射功率為1瓦的譜色光所需要的[X]，[Y]，[Z]的數量，并分別用，，表示。它們不能用配色試驗得出，而是由經計算得到的。

由于式（2.2-29）和式（2.2-30）適用于求任意彩色的色系數，分布色系數是色系數中的一種特殊情況，因此

以上兩式中和的數據見式（2.2-29b）和式（2.2-30b）。根據表2-1的數據，可求出，，的數據和曲線（混色曲線），分別如表2－4和圖2.2-8所示。從中可以看出：，，均為非負數，滿足制定XYZ計色數的第一條規定； 曲線和相對視敏函數V（l ）曲線一致，這說明彩色的亮度僅由色系數Y決定，這與制定XYZ計色制的第二條規定相一致。

與RGB制類似，若已知某彩色光的功率譜為P（l ），則其三個色系數，

對于等能白光E白，P（l ）＝常數，又X＝Y＝Z，故三條曲線下的面積相等。

四、相對色系數與CIE色度圖

與RGB制相類似，彩色的色度也只取決于X、Y、Z的比值，故引入相對系數（或色度坐標）x、y、z和色模m'，它們分別為

顯然，x＋y＋z＝1 （2.2-35）

F＝X[X]＋Y[Y]＋Z[Z]＝ （2.2-36）

上式中，利用上式可求出各譜色光的色度坐標值如表2-4所示。

與RGB計色制相類似，可將自然界所有顏色表示在xy直角坐標系中，這就是國際上通用的CIE色度圖，如圖2.2-9所示。它的用途極廣，是色度學中有用的工具。對于任意功率譜的彩色，其色度坐標可用式（2.2-33）和式（2.2-34）求出；或者先求它們的RGB制的色系數R、G、B，然后再利用坐標變換成X、Y、Z或x、y、z。

五、彩色的合成

與RGB制相仿，可用計算法或圖解法求解彩色合成的問題。

與RGB制不同，XYZ制常用F（x，y，Y）來表示某一彩色，其中x，y表示色度坐標，Y代表亮度。

1、計算法：若已知兩個色光為和則合成彩色可用

表示，其中

2、圖解法：合成光位于兩個混合色光、的連線上，它到和兩點的距離之比等于，具體作圖求解方法與RGB制完全相同，此處不再贅述。

六、主色波長和色純度

1、主色波長與補色波長

在圖2.2-10中設位置是W點，對于任意彩色，射線W與譜色軌跡相交于點，點的譜色波長為，稱為彩色的主色波長；的反延長線與譜色軌跡相交于點，點對應的譜色波長，稱為彩色的補色波長。對于位于線段上的彩色，它的主色波長是，而補色波長為。由于D RWB（R點和B點分別指譜色軌跡上780nm和380nm兩點）內和線段上的彩色均為非譜色，故彩色無主色波長，只有用它的補色波長（即彩色的主色波長），間接表示它的色調。

2、等色調波長線和等飽和度線

在線段上各點的色調都與波長為的色調相同，只是色純度各異。越靠近譜色軌跡，色純度越高；愈靠近白光W點，色純度愈低；白光W的飽和度等于零。稱為等調波長線（或主色波長線），同樣，線段，，…都稱為等色調波長線。任一彩色的色純度

上式中，和分別為白光W，彩色C和譜色P三點的色度坐標。當等色調波長線近乎平行x軸時，只能用式（2.2-39a），當它近乎平等y軸時，只能用式（2.2-39b）。在非上述情況下，兩式均可任意選用。

由波長不同但色飽和度相同的各點連成的曲線稱為等飽和度線。若彩色的主色（或補色）波長和飽和度已知，則其色度被確定。應注意：彩色的主色波長和飽和度，隨基準白光的不同而各異。例如某點色度坐標為x＝0.2000，y＝0.650。若選E白作基準白光，＝526.7nm，＝0.651；而選C白作基準白光時，＝529.1nm，＝0.671。某一顏色的色調和色飽和度跟它的色坐標之間的關系，類似解析幾何中極坐標與直角坐標的關系。

七、色域圖

各種顏色在色度圖上的位置，可用圖2.2-9所示的色域圖表示，該圖分成許多小區，每一小區代表一種顏色。

各種顏色的色度，無論是用色度坐標或用主色波長和色純度來表示，均需兩個參量，方能確定。但對于譜色軌跡上的譜色光，因其色飽和度更高都等于1，所以只需知其波長就能確定它的色度坐標。

2.2.3 均勻色標制

一、剛辨差（JND）與均勻色標制的提出

由人眼分辨顏色變化的能力是有限的，故對色度差很小的兩種顏色，人眼分辨不出它們的差異。只有當色度差增大到一定數值時，人眼才能覺察出它們的差異，人眼剛剛能覺察出顏色差別所對應的色度差稱為剛辨差JND（Just Noticable Diference）。通過實驗表明：在CIE色度圖上，不同位置或者同一位置的不同方向，人眼的剛辨差是不相同的。1942年麥克亞當（Macadam）對25種色光進行實驗，在每個色光點大約沿5到9個對側方向上測量剛辨差。結果得到的是一些面積大小各異、長短軸不等的橢圓，稱為麥克亞當橢圓，如圖2.2-11中，不同位置的麥克亞當橢圓面積相差很大，靠近520nm處的橢圓面積大約是400nm處隨圓面積的20倍。這表明人眼對藍色區域顏色變化相當敏感，而對飽和度較高的黃、綠、青部分的顏色變化不太敏感。對于面積大小相同的區間，在藍色部分比綠色部分，人眼能分辨出更多的顏色。在XYZ計色坐標系中，剛辨差的不均勻性給顏色的計量與復現工作造成麻煩。人們曾經作過試探，將CIE－XYZ色坐標系經過一定的線性變換（或投影變換），企圖使整個色域內各點的剛辨差相等，麥克亞當橢圓都變成半徑相等的圓。試探結果表明，上述設想是無法實現的。但是經過某種投影變換，能使各點的剛辨差的均勻性比XYZ計色坐標系要好得多，這就是均勻色標系統（制）。

二、均勻色標制

均勻色標系統又稱為UCS（Uniform Chromaticity Scale）制，1960年它被CIE正式承認采用。在UCS制中，規定均勻色度坐標的橫坐標為u，縱坐標為v，而u和v都是從x和y值的線性變換得來的，其相互關系是：

根據式（2.2-41a）將CIE色度圖變成用m －坐標表示的色度圖，如圖2.2-12所示。因為是線性關系，所以CIE色度圖中的直線變換到m －坐標中仍是直線。由圖可見，原來25種色光的麥克亞當橢圓向圓的方向靠近，各圓的大小差別也變小了。從而使得人眼在視覺上差別相等的顏色，在m －坐標上大致是等距的，這有利于人們根據不同顏色的色度差來判斷兩者顏色的差別，對顏色計量與重現工作帶來方便，特別是，用來作為制定產品顏色公差的依據。通常規定剛辨差的量值單位為JND，在UCS制中，1JND＝0.00384UCS坐標線段值。設兩色坐標的設計值、。實際測量值為、。則設計誤差為